Projekt z przedmiotu:

 

Systemy akwizycji i przesyłania informacji

 

Autorzy:

Borowicz Grzegorz

Pikor Mariusz

Selwa Stanisław

Szczygieł Witold

 

 

Temat projektu:

Algebra liniowa.

Ten rozdział wyjaśnia jak można użyć algebry liniowej w analizie i obliczeniach macierzy.

Można odnieść się do przykładów z examples\analysis\linxmpl.llb i użyć palety dostępnej w Functions>>Mathematics>>Linear Algebra.

 

Systemy liniowe i analiza macierzy.

Równania algebry liniowej występują w wielu aplikacjach i wymagają naukowych obliczeń można tu wymienić między innymi analizę sygnałów. Takie równania mogą powstawać naturalnie lub mogą być rezultatem aproksymacji równań różniczkowych do równań algebraicznych.

 

Typy macierzy.

W aplikacjach zawsze koniecznym jest znalezienie dokładnego rozwiązania dla równania w bardzo sprawny sposób. W notacji macierz-wektor taki system równań algebry linowej ma postać:

   

 

gdzie A jest macierzą n ´ n, b jest danym wektorem składającym się z n elementów, i x jest nieznanym rozwiązaniem.. Macierz jest reprezentowana przez dwuwymiarową tablicę elementów. Te elementy mogą być liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi, funkcjami lub operatorami. Macierz A przedstawiona poniżej jest tablicą składającą się z m wierszy i n kolumn z m ´ n elementami.

 

 

ai,j oznacza element znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Ogólnie takie macierze nazywamy macierzą prostokątną. Kiedy m=n co oznacza, że liczba kolumn jest równa liczbie wierszy, mamy do czynienia z macierzą kwadratową. W przypadku, gdy mamy m wierszy i jedna kolumnę macierz nazywamy wektorem kolumnowym (m ´ 1), a kiedy mamy jeden wiersz i n kolumn (1 ´ n) wektorem wiersza. Jeżeli w macierzy wszystkie elementy oprócz elementów na przekątnej są zerami mamy do czynienia z macierzą diagonalną. Dla przykładu:

  

 

W przypadku, gdy w macierzy diagonalnej wszystkie elementy na przekątnej są równe 1 mamy do czynienia z macierzą jednostkową. Jeżeli elementy powyżej przekątnej są zerami mówimy o macierzy trójkątnej wyższej,  jeżeli elementy poniżej przekątnej są zerami mówimy o macierzy trójkątnej niższej. Kiedy wszystkie elementy są liczbami rzeczywistymi mamy do czynienia z macierzą rzeczywistą, a kiedy przynajmniej jeden element jest liczbą zespoloną mówimy o macierzy zespolonej.

 

Wyznacznik macierzy.

Jednym z ważnych atrybutów macierzy jest wyznacznik. W najprostszym przypadku wyznacznik macierzy 2 ´ 2

Jest obliczany: ad-bc. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest obliczany z wyznaczników jej elementów, dla przykładu:

      

wyznacznikiem macierzy A oznaczony jako |A| jest:

 

 

 

Wyznacznik mówi o wielu ważnych właściwościach macierzy. Dla przykładu, jeżeli wyznacznik macierzy wynosi 0 wtedy macierz jest macierzą jednostkową.

 

Transponowanie macierzy.

Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy i kolumn tej macierzy. Jeżeli macierz B reprezentuje macierz transponowaną A oznaczoną jako AT to bj,i=ai,j. Dla przykładu macierz A:

      

 

to macierz transponowana będzie:

 

 

W przypadku macierzy zespolonej możemy zdefiniować transponowaną koniunkcją zespoloną. Jeżeli macierz D reprezentuje transponowaną koniunkcję zespoloną (jeżeli a=x+iy, to zespolona koniunkcja a*=x-iy) z macierzy zespolonej C wtedy:

 

Macierz D jest otrzymywana poprzez zastępowanie każdego elementu macierzy C przez jego zespoloną koniunkcję i zmianę wierszy z kolumnami.

Macierz rzeczywistą nazywamy macierzą symetryczną, jeżeli macierz transponowana jest równa macierzy wyjściowej. Na przykład macierz A nie jest macierzą symetryczną.

 

Niezależność liniowa.

Zestaw wektorów x1,x2,...,xn nazywany jest zależnym liniowo wtedy i tylko wtedy gdy istniejące skalary a1,a2,...,an nie sa zerami i spełniony jest warunek:

 

W prostszych przypadkach, jeżeli jeden z wektorów może być wpisany w związek liniowy z innym to te wektory możemy nazwać zależnymi liniowo. Jeżeli zestaw a1=0,a2=0,...,an=0 z powyższego równania to wektory x1,x2,...,xn możemy nazwać niezależnymi liniowo. W takim przypadku żaden z wektorów nie może być wpisany w związek liniowy z innym.

Dla przykładu rozważmy dwa wektory:

                              

 

Zauważmy, że a1=0 i a2=0  i są wartościami dla których relacja a1x+a2y=0 jest prawdziwa. Stąd możemy stwierdzić, że te wektory są liniowo niezależne.

Weźmy dwa nowe wektory:

                              

 

Zauważmy, że jeżeli a1=-2 i a2=1  to a1x+a2y=0. Dlatego te dwa wektory są liniowo zależne.

 

Stopień macierzy.

Stopniem macierzy A oznaczonym jako r(A) jest maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn w macierzy A. Jeżeli weźmiemy macierz A z wcześniejszego przykładu to stwierdzimy, że wszystkie kolumny są liniowo niezależne. To oznacza, że żadna kolumna nie może być wpisana w związek liniowy z jakąkolwiek inną. Dlatego stopień tej macierzy wynosi 3.Rozważmy jeszcze jeden przykład – weźmy macierz B:

 

Ta macierz posiada tylko dwie liniowo niezależne kolumny, ponieważ trzecia kolumna jest liniowo zależna od pierwszych dwóch kolumn. Dlatego stopień tej macierzy wynosi 2. Może to wskazywać na to, że liczba linowo niezależnych kolumn w macierzy jest równa liczbie niezależnych wierszy. Tak więc stopień macierzy nigdy nie może być większy niż jej rozmiar. Jeżeli A jest macierzą n ´ m to:

gdzie min oznacza minimum z dwóch liczb. W teorii macierzy stopień macierzy kwadratowej

odnosi się do najwyższego poziomu macierzy niejednostkowej. Tak więc stopień macierzy odnosi się do najwyższego poziomu macierzy , której wyznacznik nie jest zerem. Dla przykładu rozważmy macierz 4 ´ 4:

Dla tej macierzy det(B)=0, ale

Dlatego stopień macierzy B wynosi 3. Macierz kwadratowa ma pełny stopień wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.. Macierz B nie ma pełnego zakresu.

 

"Wielkości" Macierzy (Normy).

 

Pojęcie takie, jak "wielkości" wektorów i macierzy należy rozwinąć również do miary błędów i wrażliwości w rozwiązywaniu liniowych układów równań. Na przykład, te liniowe układy można otrzymać stosując w aplikacjach ich kontrolę oraz płynną dynamikę rachunkową. Możemy rozpatrywać to zagadnienie w dwóch rozmiarach:

Na przykład , w takiej sytuacji, gdy nie można porównywać dwóch wektorów x = [x1, x2]
i y = [y1, y2], ponieważ wówczas można otrzymać dwie następujące nierówności:
x1 > y1, ale również x2 < y2. Normą wektora nazywamy drogę (sposób) wyznaczania skalara ilości do tych wektorów tak, że mogą one być porównywane ze sobą nawzajem. Termin ten jest podobny do pojęcia wielkości, modułu oraz wartości bezwzględnej dla skalara liczb.

 

 


Rys. 5-1 . Norma Euklidesowa wektora .

 


Występują różne sposoby obliczania normy macierzy. Możemy tu wyróżnić:

 2-normę (normę euklidesową), 1-norma, norma Frobeniusa (F norma) i norma nieskończoności (inf norma). Każda z tych norm ma swoją własną fizyczną interpretację .

Rozważmy element kuli zawierający początek . Norma Euklidesowa wektora jest czynnikiem, przez który to czynnik kula musi być rozszerzana lub dekatyzowana z wektorem, o który jest obracana. Zostało to przedstawione na rysunku 5-1 .

Figura 1a przedstawia kulę o promieniu =1. Figura 1b pokazuje wektor o długości Ö22 + 22 = = Ö8 = 2Ö2. Jak zostało to pokazane na  Figurze 1c, promień kuli musi być rozszerzany przez ten czynnik 2Ö2 zanim dokładnie otoczy dany wektor. Wynika stąd, że norma euklidesowa wektora jest równa  2Ö2.

Normę macierzy definiuje się według warunków underlying normy wektora. Nazywane to jest maksymalnym, względnym rozciąganiem się macierzy, które to powiększanie macierz wykonuje w stosunku do jakiegokolwiek wektora . Jak wynika z  2-normy wektora, element kuli, który jest powiększany przez dany czynnik jest równy w stosunku do normy macierzy.
Z innej strony rozpatrując to zagadnienie można powiedzieć, że 2-norma macierzy, oraz element kuli może przekształcić się w krzywą elipsoidalną (elipsa w 3D), zawierającej kilka osi, które są dłuższe niż inne osie w niej zawarte. Najdłuższa oś tej elipsoidy określa normę macierzy.

 

Niektóre z norm macierzy można obliczać w sposób prostszy niż inne normy. 1- normę

otrzymujemy poprzez znajdowanie sumy wartości bezwzględnej wszystkich elementów, które zawierają się w poszczególnych kolumnach macierzy. Największa z tych sum, które otrzymamy jest nazywana jako 1- norma.


Wykorzystując warunki matematyczne, można stwierdzić, że 1-norma jest wartością maksymalną w stosunku do sum kolumny macierzy.

 

 

 

 

 

Na przykład,


 


  

 

Wtedy otrzymujemy


 

 

Inf- norma macierzy jest to maksymalna suma rzędu macierzy, którą przedstawia poniższy wzór:


 

 

 W tym przypadku, dodajemy wielkości wszystkich elementów, które zawierają się 
w poszczególnych rzędach macierzy. Maksymalna wartość, którą otrzymamy w wyniku tego dodawania jest nazywana inf-normą. Dla wyżej przedstawionego przykładu macierzy otrzymujemy,


 

 

2- norma jest normą najtrudniejszą do obliczenia, ponieważ jest ona określana przez 

największą, pojedynczą wartość występującą w macierzy. Więcej informacji na temat rozkładu macierzy na czynniki zawartych zostało w sekcji dotyczącej pojedynczych wartości macierzy.

 Określanie osobliwości macierzy (Wyznacznika Macierzy).

 

Podczas gdy norma macierzy dostarcza informacji co do sposobu mierzenia wielkości macierzy, tak wyznacznik macierzy jest miarą określającą, w jakim stopniu macierz ta jest macierzą niepowtarzalną (osobliwą). Liczba przyporządkowana kwadratu macierzy nieosobliwej jest definiowana jako:


 

 gdzie p jest jedną z czterech norm, których typy zostały omówione powyżej. Na przykład, by znaleźć liczbę przyporządkowaną macierzy A, należy znaleźć 2- normę macierzy A,
2-normę odwrotności macierzy A, którą to normę odwrotności możemy przedstawić  przez
A–1, i wtedy mnoży się obie te normy razem przez siebie (odwrotność kwadratu macierzy
A jest kwadratem macierzy B, w wyniku czego otrzymujemy AB=I, gdzie I jest macierzą osobliwą). Jak wspomniano wcześniej, 2-norma jest trudna do obliczenia ręcznego
(na papierze). W tym przypadku możemy użyć tzw. VI Normy Macierzy, by obliczyć
2-normę. Na przykład ,


 


 

Wyznacznik Macierzy jest liczbą, która może zmieniać się w przedziale od 1 do nieskończoności. Macierz zawierająca dużą liczbę warunkową (>1) jest w znacznym stopniu macierzą osobliwą, podczas gdy macierz z liczbą warunkową zbliżoną do 1 jest macierzą, która może być uznana w mniejszym stopniu  za macierz osobliwą (pojedynczą). Tak więc, powyżej przedstawiona macierz nie jest macierzą osobliwą. Jakkolwiek, jeśli weźmiemy pod uwagę macierz


 

 

 Liczba przyporządkowana tej macierzy wynosi 47168, wynika stąd, że macierz ta jest macierzą zamkniętą, można o niej powiedzieć, iż jest to macierz pojedyncza (osobliwa). Jak zostało to przedstawione we wcześniejszym rozważaniu, macierz jest macierzą pojedynczą (osobliwą)  jeżeli jej determinant jest równy zeru . Jakkolwiek, element decydujący (determinant) nie stanowi dobrego rozwiązania dla oszacowania tego, czy i jak dokonać zamknięcia macierzy, a w rezultacie doprowadzić do tego, by macierz stała się macierzą osobliwą (pojedynczą). Dla macierzy B, która  została pokazana powyżej, element decydujący /determinant/ (0 . 0299) jest różny od zera; jakkolwiek, duża liczba warunkowa wskazuje na to, że macierz ta jest zbliżona do tego by stać się pojedynczą (osobliwą) macierzą. Należy pamiętać o tym, że wyznacznik macierzy zawsze jest większy lub równy jeden; drugi element macierzy jest prawdziwy dla identyczności i permutacji macierzy (permutacja macierzy jest macierzą identyczną składającą się z kilku rzędów i kolumn zamienionych względem macierzy wyjściowej). Liczba przyporządkowana jest wartością bardzo przydatną przy szacowaniu dokładności rozwiązania  liniowych systemów .

 W tej sekcji rozdziału starano się przedstawić podstawową notację i ważne pojęcia wykorzystywane przy obliczeniach na macierzach, którymi były: determinant macierzy i jej szereg.

 

Podstawowe działania na macierzach i wartości własne wektora.

 

W tej części rozdziału przedstawione zostaną rozważania dotyczące podstawowych działań na macierzach. Dwie macierze, A i B, są równe jeżeli mają tę samą liczbę (ilość) rzędów
i kolumn, a odpowiednie elementy tych macierzy są równe. Mnożenie macierzy A przez skalar α polega na przemnożeniu wszystkich elementów zawierających się w tej macierzy przez ten skalar. Można to przedstawić w sposób następujący,

 

  


 

Na przykład ,


 

 

Dwie (lub więcej) macierzy można dodawać lub odejmować jeżeli i tylko wtedy, gdy mają one tę samą liczbę rzędów i kolumn. Jeżeli obie macierze A i B mają m rzędów i n kolumn, wtedy ich suma C jest równa m do n, a macierz jest definiowana w następujący sposób:

C =A±B , gdzie ci,j= ai,j ± bi,j. Na przykład ,


 

 

W celu mnożenia dwóch macierzy, liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie rzędów drugiej macierzy . Jeżeli macierz A posiada m rzędów i n kolumn i macierz B posiada n rzędów i p kolumn, wówczas iloczyn tych macierzy C jest równy m przez p, a macierz definiowana jest następująco C = AB, gdzie


 

 

 Na przykład,


 


 

Więc, mnożysz elementy pierwszego rządu A przez odpowiednią  liczbę elementów z pierwszej  kolumny B a następnie dodajesz wszystkie wyniki aby uzyskać elementy w pierwszym rzędzie i w pierwszej kolumnie C. Podobnie, aby obliczyć element w rzędzie „i”  i w kolumnie „j” , pomnóż elementy w „j” rzędu A przez odpowiednik elementów w   j”  kolumny C, i wtedy dodaj je wszystkie.

 

Jest to pokazane obrazowo na wykresie 5-2.

 

 

Wykres 5-2. Mnożenie macierzy

 

 

Mnożenie macierzy, generalnie, nie jest przemienne, to znaczy: AB≠BA.

Również, pamiętaj, że mnożenie macierzy przez identyczności macierzy ma skutek na oryginalną macierz.

 

Produkt punktowy i zewnętrzny

 

Jeśli X reprezentuje wektor a Y reprezentuje inny wektor, wtedy produkt punktowy tych dwóch wektorów jest otrzymywany przez pomnożenie odpowiadających sobie elementów każdego wektora i przez dodanie wyników. Jest to pokazane za pomocą:

 

 

gdzie n jest liczbą elementów w X i Y. Zauważ, że oba wektory muszą mieć taką samą liczbę elementów. Produkt punktowy jest skalarem ilości i ma wiele praktycznych aplikacji.

 

Na przykład: rozważ wektory a=2j+4j  i b= 2i+j w dwuwymiarowym prostokątnym systemie współrzędnym, przedstawionym na wykresie 5-3.

 

 

Wykres 5-3. Wektory a i b

 

 

Wtedy produkt punktowy tych dwóch wektorów jest podany przez:

 

 

 

 kąt a pomiędzy tymi dwoma wektorami jest dany przez:

 

 

 

gdzie |a| oznacza wielkość a.

 

 

Jako drugą aplikację , rozważ ciało na którym działa stała siła a, jak pokazano na wykresie 5-4. Praca W wykonywana przez a w przemieszczaniu ciała jest definiowana jako produkt |d|
i komponentu a w kierunku przemieszczania d. To znaczy:

 

 

 

 

 

Z drugiej zaś strony, zewnętrzny produkt tych dwóch wektorów jest macierzą. Element (I,j)n  tej macierzy jest otrzymywany za pomocą formuły:

 

 

 

 

Na przykład:

 

 

 

Wartości własne i wektor własny

 

 Aby zrozumieć wartości własne i wektor własny, trzeba zacząć od klasycznej definicji. Jeżeli mamy dane nxn macierzy A, problemem jest znalezienie skalara l i niezerowego wektora x tak żeby:

 

 

Taki skalar l jest nazywany wartością własną, a x jest korespondującym wektorem własnym.

 

Liczenie wartości własnych i wektorów własnych jest fundamentalna podstawa linearnej algebry i pozwala  rozwiązać wiele problemów np. związanych z systemami równań różniczkowych, kiedy rozumiemy co one reprezentują. Załóżmy, że wektor własny x z macierzy A jest niezerowym wektorem, który nie obraca się kiedy x  jest mnożone przez A (z wyjątkiem może punktu w dokładnie przeciwnym kierunku). X może zmieniać długość lub odwrócić swój kierunek, ale nie zboczy ze swojej trasy. Inaczej mówiąc , jest tam jakiś skalar stały l, który podtrzymuje powyższe równanie. Wartość l jest wartością własną. Rozważ następujący przykład. Jeden z wektorów własnych macierzy A, gdzie”

 

 

 

 

Jest

 

 

Mnożenie macierzy A i wektora x po prostu powoduje, ze wektor x jest rozszerzony przez czynnik 6.85. Stąd, wartość 6.85 jest jedną z wartości własnych wektora x. Dla jakiegokolwiek stałego a, wektor  ax jest też wektorem własnym z wartością własną l, ponieważ

 

A(ax)= aAx=lax

 

 

Mamy kilka ważnych własności wartości własnej i wektora własnego, jak następuje:[T.T.1] 

*    wartości własne macierzy nie są koniecznie wszystkie odmienne. Inaczej mówiąc , macierz może mieć wielokrotną wartość własną.

*    Wszystkie wartości własne rzeczywistej macierzy nie muszą być rzeczywiste. Jakkolwiek, złożone wartości własne rzeczywistej macierzy muszą występować w kompleksowych koniugowanych parach.

*    wartości własne przekątnej macierzy są jej przekątnymi wejściami, a wektory własne są odpowiednimi kolumnami macierzy jednostkowej w tym samym wymiarze.

*    rzeczywista symetryczna macierz zawsze ma rzeczywiste wartości własne i wektory własne.

*    Jak omówiono wcześniej, wektory własne mogą być ważone dowolnie.

 

Jest dużo praktycznych aplikacji jeżeli chodzi o problem wartości własnych na polu nauki i inżynierii. Na przykład, stabilność struktury , jej naturalnych trybów i częstości wibracji jest określana przez wartości własne i wektory własne odpowiedniej macierzy. Wartości własne są też bardzo użyteczne w analizowaniu numerycznych metod, takich jak analizy zbieżności w iteracyjnych metodach rozwiązywania systemów algebraicznych równań i stabilności analizy metod w rozwiązywaniu systemów równań różniczkowych.

 

 

Wartości i wektory własne VI są przedstawione na wykresie 5-5. Wejście Macierzy jest rzeczywistym kwadratem macierzy N-przez-N. Typ macierzy określa typ wejścia macierzy. Typ macierzy mógłby być 0, wskazując na ogólną macierz, lub 1,wskazujac na symetryczną macierz. Macierz symetryczna ma zawsze rzeczywiste wartości własne i wektory własne. Ogólna macierz nie ma specjalnych właściwości takich jak symetria czy trójkątna struktura.

 

 

 

Opcja wyjścia określa co musi być obliczone. Kiedy opcja wyjścia = 0, wskazuje to, ze tylko wartości własne musza być obliczone. Jeżeli opcja wyjścia =1, zarówno wartości własne jak i wektor własny powinny być obliczone. Jest to bardzo pracochłonne. Dlatego też jest bardzo ważne aby używać kontroli opcji wyjścia w wartościach i wektorach własnych ostrożnie. Zależnie od specyficznej aplikacji może zajść potrzeba obliczenia tylko wartości własnej albo zarówno wartości własnej i wektorów własnych. Również symetryczna macierz wymaga mniej obliczeń niż nie symetryczna macierz. Wiec trzeba wybrać typ macierzy bardzo ostrożnie.

 

Macierz odwrotna i rozwiązywanie systemów równań liniowych.

 

Odwrotność, określona przez 1, macierzy do kwadratu A jest taką macierzą do kwadratu, że:

 

A-1A = A A-1 = I

 

Gdzie I jest macierzą jednostkową. Odwrotność macierzy istnieje tylko i tylko wtedy gdy wyznacznik macierzy nie jest zerem, (tzn. nie jest pojedynczy). Generalnie można znaleźć odwrotność tylko w macierzy kwadratowej. Można jednakże obliczyć pseudo odwrotność w trójwymiarowej macierzy. Odniesienie w sekcji „rozkład macierzy na czynniki”  dla uzyskania większej ilości informacji o pseudo odwrotności trójwymiarowej macierzy.

 

Rozwiązania równań systemów liniowych

 

W oznaczeniu faktora macierzy, system równań linearnych ma formę Ax=b, gdzie A jest macierzą n x n  a b jest danym faktorem n. Celem tego jest określenie x, nieznanego rozwiązania faktora n. Pojawiają się tu dwa istotne pytania w związku z istnieniem takiego rozwiązania. Czy takie rozwiązanie istnieje a jeżeli tak czy jest ono unikatowe? Odpowiedź na te dwa pytania zależy od określenia pojedynczości i nie pojedynczości macierzy A.

Jak wspomniano wcześniej, macierz powinna być pojedyncza jeżeli ma jedną z poniższych właściwości:

*   Odwrotność macierzy nie istnieje

*   Wyznacznik macierzy równa się zero

*   Rzędy (lub kolumny) A są linearnie zależne.

*   Az = 0 dla niektórych faktorów z ≠ 0

 

W przeciwnym wypadku, macierz nie jest pojedyncza. Jeżeli macierz nie jest pojedyncza, jej odwrotność Aˉ¹ istnieje, a system Ax = b ma unikalne rozwiązanie: x = A‾¹b niezależnie od wartości b. Z drugiej jednak strony, jeżeli macierz jest pojedyncza, liczba rozwiązań jest określona przez prawą stronę wektora b. Jeżeli A jest pojedyncze a Ax = b, wtedy A(x+Yz)=b, dla jakiegokolwiek skalara Y, gdzie faktor z jest ostatnią z powyższych definicji, wtedy rozwiązanie nie może być unikatowe.

Nie jest dobrym pomysłem jawne obliczanie odwrotności macierzy, ponieważ mogą w takim obliczeniu występować numeryczne niedokładności. Dlatego nie jest dobrą strategią rozwiązywanie równań systemu linearnego przez pomnożenie odwrotności macierzy przez znaną prawą stronę faktora. Ogólnym sposobem rozwiązywania takich systemów równań jest przekształcenie oryginalnego systemu w jeden, którego rozwiązanie jest takie samo jak tamto w oryginalnym systemie, ale jest łatwiejsze do obliczenia. Jednym ze sposobów aby tego dokonać jest użycie techniki eliminacji Gaussian’a. Trzy podstawowe kroki użyte w technice eliminacji Gaussian’a są jak następuje. Po pierwsze, wyrażenie macierzy jako produktu

 

A=LU

 

Gdzie L jest niższą jednostką macierzy trójkątnej a U jest wyższą trójkątną macierzą. Taki rozkład na czynniki jest znany jako rozkład na czynniki LU. Mając to podane, system linearny Ax=b, może być wyrażany jako Lux=b. Taki system może być wtedy rozwiązany najpierw przez rozwiązanie niższego trójkątnego systemu Ly=b dla y przez

uprzednią substytucję. To jest drugi krok w technice eliminacji Gaussian’a. Na przykład, jeśli:

 

                            

 

 

wtedy

 

 

W tym przypadku, ten ostatni element x może być łatwo określony i wtedy użyty do określenia innych sekwencji  elementów. Stąd, nazwa końcowej substytucji. Jak dotąd , w tym rozdziale został omówiony przypadek kwadratowych macierzy. Ponieważ macierz, która nie jest kwadratowa jest macierzą pojedynczą, system równań musi albo nie mieć rozwiązania lub mieć rozwiązanie nie unikatowe. W takiej sytuacji, zwykle znajdujemy unikatowe rozwiązanie x, które zadowala linearny system w przybliżonym stopniu.

 

Paleta Function»Mathematics»Linear Algebra dostarcza VI dla obliczania odwrotności macierzy, obliczania dekompozycji macierzy LU i rozwiązywania system linearnych równań. Ważne jest aby właściwie zidentyfikować wejście macierzy, jako, że pomaga to uniknąć niepotrzebnych obliczeń, co w konsekwencji pomaga zmniejszyć numeryczne niedokładności. Cztery możliwe typy macierzy są ogólnymi macierzami, pozytywne określonymi macierzami , niższymi i wyższymi trójkątnymi macierzami. Rzeczywista macierz jest pozytywnie określona tylko wtedy gdy jest symetryczną i kwadratową formą dla wszystek niezerowych wektorów X. Jeśli wejście macierzy jest kwadratowe, ale nie ma pełnego ,wtedy VI znajduje najmniejsze rozwiązanie kwadratowe dla x. Najmniejsze rozwiązanie kwadratowe jest jednym, które zmniejsza normę Ax-b. To samo obowiązuje też dla macierzy nie kwadratowej.

 

Rozkład Macierzy na czynniki

Poprzednia sekcja omawiała w jaki sposób  linearny system równań może być przekształcany w system, którego rozwiązanie jest prostsze do obliczenia. Podstawowym pomysłem było rozłożenie wejścia macierzy aby pomnożyć poszczególne, prostsze macierze. Przejrzeliśmy jedną taką technikę, rozkład LU, w którym rozkładaliśmy wejście macierzy jako produkt wyższych i niższych trójkątnych macierzy. Innymi zwykle używanymi metodami rozkładu czynników są Cholesky, QR, i rozkład liczby pojedynczej (SVD). Można użyć tych metod rozkładu czynników aby rozwiązać wiele problemów macierzy, takich jak rozwiązywanie linearnych systemów równań, odwracanie macierzy, i znajdowanie wyznacznika macierzy.

 

Jeśli wejście macierzy A jest symetryczny i określone pozytywnie, wtedy rozkład LU na czynniki może być obliczony jak następuje, A=UTU, gdzie U jest wyższą trójkątną macierzą. Nazywane jest to rozkładem Cholesky. Ta metoda wymaga tylko mniej więcej połowy pracy i połowy pamięci porównując z rozkładem LU na czynniki w ogólnej macierzy przez eliminację Gaussian’a. Jest łatwe do określenia czy macierz jest pozytywnie określona za pomocą Próby Pozytywnej Określonej VI.

Macierz Q jest prostokątna jeśli jej kolumny są ortonormalne. To znaczy, jeśli QTQ=I, jest to macierz jednostkowa. Technika podziału czynników sumy logicznej macierzy jako produktu prostokątnego macierzy Q i wyższej macierzy trójkątnej R. To znaczy, A=QR. Podział QR jest użyteczny zarówno dla kwadratowych i prostokątnych macierzy. Pewna liczba algorytmów jest możliwa dla podziału QR, tak jak nieruchomości transformacji,

Dana  transformacja i później podana transformacja.

Metoda rozkład liczby pojedynczej (SVD) rozdziela macierz na produkt trzech macierzy:
 A = USVT. U i V są prostokątnymi macierzami. S jest przekątną macierzą, której przekątnymi wartościami są tzw. wartości liczby pojedynczej. Wartości pojedyncze nie są ujemnymi pierwiastkami kwadratowymi wartości własnej ATA, a kolumny U i V, które są nazywane lewymi i prawymi pojedynczymi wektorami, są ortonormalnymi wektorami własnymi AAT

i odpowiednio AT A.  SVD jest użyteczny dla rozwiązywania problemów analizy takich jak obliczanie szeregu, norm,  liczby warunkowej, i pseudo inwersji macierzy. Następna sekcja omawia tę ostatnią aplikację.

 

Pseudo inwersja

Pseudo inwersja skalara σ jest definiowana jako 1/σ jeżeli σ≠0, a zero w innych przypadkach. W wypadku skalarów, pseudo inwersja jest taka sama jak inwersja (odwrotność).

Można teraz zdefiniować pseudo inwersje przekątnej macierzy przez przestawianie macierzy a następnie zabranie skalara pseudo inwersji z każdego wejścia. Wtedy pseudo inwersja ogólnej rzeczywistej NxN macierzy A, wskazana przez A, jest podana przez

 

A﹡ = VS﹡UT

 

Zauważ, że pseudo inwersja istnieje nie zważając czy macierz jest kwadratowa czy prostokątna. Jeśli A jest kwadratowe i niepojedyncze, wtedy pseudo inwersja jest taka sama jak zwykła inwersja macierzy. Paleta Funkcje»Matematyka»Linearna Algebra zawiera VI dla obliczenia pseudo inwersji rzeczywistych i złożonych macierzy.

 

 

Podsumowanie

*    macierz może być brana pod uwagę jako dwuwymiarowy szyk m rzędów i n kolumn. Wyznacznik, ranga i liczba warunkowa są ważnymi przymiotami macierzy.

*    liczba warunkowa macierzy działa na dokładność końcowego rozwiązania.

*   wyznacznik przekątnej macierzy, wyższej trójkątnej macierzy, lub niższej trójkątnej macierzy jest produktem jego przekątnych elementów.

*    Dwie macierze mogą być pomnożone tylko jeśli liczba kolumn jednej macierzy jest równa liczbie rzędów w drugiej macierzy.

*   wektor własny macierzy nie jest zerowym wektorem, który się nie kręci kiedy macierz jest do tego stosowana. Podobne macierze mają tak samą wartość własną.

*   istnienia unikalnego rozwiązania dla systemu równań zależy od tego czy macierz jest pojedyncza lub niepojedyncza.